一，问题描述

首先，我们需要考虑最简单的一种情形。为了简单期间，以x轴为基准轴，把弦的一段放在原点。

以u(x,t)表示弦l上任意位置在t时刻的小位移量。假如弦只发生很小的横向震动，那么必满足以下方程：

同时，需满足以下条件：

（1）初始条件：

（2）边界条件：

二，分步骤解答

第一步：方程的求解

（1）分离变量，并解出常系数普通偏微分方程的解：

第二步：应用边界条件，缩小解的范围

其中大括号内的两个常系数可以是任意数（包括复数）

第三步：应用初始条件，进一步缩小解的范围

（1）固定时间t，当取不同的k值时，弦l会被划分成多个半周期，如下图，k分别取值1,2,3：

（2）固定位置x，略

三，小结

（1）不同的Mode，代表不同的k值，也即具有不同周期和频率的波；

（2）波动方程的解，可以看成是一系列三角函数的叠加；

四，参考资料

Joel Feldman, 2007. Solution of the Wave Equation by Separation of Variables.